Las matemáticas de la comunicación

Paquete I. Introducción

Este artículo está escrito emulando la manera en que se transmite la información en Internet, en paquetes. Nuestro objetivo es explicar cómo, por qué y cuáles son los logros de matematizar la transmisión de la información.

Paquete 2. Comunicación

Sin duda una de las principales características que tenemos como seres humanos es nuestra lengua. La lengua y el pensamiento están relacionadas en un círculo virtuoso. Esta relación se sublima con la invención de la escritura. Irene Vallejo, en su obra El infinito en un junco, nos relata maravillosamente la invención del libro y su impacto en la civilización.

Paquete 3. Revolución moderna

El telégrafo, el teléfono, la radio, la televisión y, finalmente, la red de Internet son medios de comunicación que han transformado nuestras vidas. Son vehículos de transmisión de información; el libro es un medio de preservación de la información que también tiene sus análogos modernos: libros electrónicos, cintas magnéticas, discos compactos, memorias USB, etc. Podemos usar el mismo verbo “transmitir” si pensamos que puede ser en el espacio, de un lugar a otro, o en el tiempo, de un momento a otro. De ahí la frase “escribir un libro es trascender en el tiempo”.

Paquete 4. Bits y bytes

Para medir la cantidad de datos se usan bits. Un bit indica la opción de tener dos posibilidades: abierto/cerrado, sí/no, 1/0. Si juntamos 8 bits tenemos un byte con 256 posibilidades. Para almacenar una letra o carácter típicamente usamos un byte. Una imagen se divide en píxeles y en cada píxel se usan 3 bytes (RGB), uno para el rojo, uno para el verde y uno para el azul. Asimismo, las películas y la música también se pueden codificar en bits y bytes, millones.

Toda información puede medirse en bits.

Paquete 5. Confiabilidad 

Cuando se transmite un mensaje, es inevitable que haya una probabilidad de que el mensaje llegue ligeramente alterado. ¿Cómo podemos asegurar que el mensaje sea el correcto, o al menos saber que ha habido un error? Por ejemplo, si el mensaje se manda dos veces y no coinciden, sabemos que hay un error; si lo mandamos tres veces podemos saber con mayor confianza cuál es el correcto. Hay maneras mucho más eficientes de hacer esto, pero el punto aquí solo es: la repetición de un mensaje nos ayuda a transmitirlo con mayor confiabilidad.

Paquete 6. Redundancia

Los pleonasmos refuerzan una idea y permiten corregir si hubiera en caso de una confusión. La estructura de todos los lenguajes tiene pleonasmos, redundancias en el sentido de que se puede decir lo mismo con muchos menos caracteres. Prueba de ello son las revistas de los aviones, donde está escrita la misma información en español y en inglés. Típicamente el texto en inglés es más corto. Eso quiere decir que el español es ligeramente más redundante que el inglés. El árabe escrito es mucho menos redundante: solo se escriben las vocales largas; las cortas se deducen del contexto.

Paquete 7. Información

La información de un mensaje es lo que queda después de haberle quitado todo lo redundante, y la información de un mensaje transmitido es la información del mensaje menos los errores que pudieron incorporarse durante en la transmisión.

paquete 8. Entropía

La entropía es una medida de desorden. Su definición es técnica pero se puede ejemplificar eEn el caso de la teoría de la información, la definición es técnica, pero Iintuitivamente es una proporción de las palabras en el lenguaje respecto a todas las palabras posibles que se pueden formar con el alfabeto, como por ejemplo “tfwe”. La entropía nos dice qué tan difícil es predecir lo que sigue después de al escribir una palabra o una frase. Así, la entropía es mayor cuanto menos redundante essea el lenguaje y menor cuanto más redundante sea.

Paquete 9. Capacidad

Cuando contratamos Internet nos venden paquetes de diferentes capacidades: 30, 50 o 100 megas por segundo. Pero aquí queremos hablar de la cantidad de información recibida en lugar de la cantidad de datos que, como vimos, a causa de la redundancia y los errores, puede ser diferente.

Paquete 10. Shannon

Fue un ingeniero que en 1948 definió matemáticamente todos estos conceptos y expuso la posibilidad de comprimir los mensajes sin perder confiabilidad. Muestra, además, que esencialmente existe un límite a la capacidad de transmitir información. Es decir, no importa qué tan ingeniosos sean los algoritmos de compresión y de verificación;, hay un límite de la cantidad de información que podemos transmitir. El límite está dado en términos de la cantidad de bits por segundo del medio transmisor, de la entropía del lenguaje y de la cantidad de ruido del canal. Nuestro título alude a su artículo fundamental “The Mathematical Theory of Communication”.

Shannon demostró que todo canal tiene un límite para transmitir información.

Paquete 11. En pocas palabras

Dado que el número de palabras con significado es mucho menor que todo el universo de palabras posibles, piénsese, por ejemplo, en la Biblioteca de Babel de Borges, donde están escritos todos los libros posibles: solo una pequeña fracción de palabras tiene sentido. Esto nos indica que la entropía es baja y, por lo tanto, la redundancia es alta. Podemos entonces usar esta redundancia para comprimir el mensaje sin perder confiabilidad.

Como los idiomas son redundantes, los mensajes pueden comprimirse sin perder sentido.

Paquete 12. Curiosidades

El resultado de Shannon se parece al ciclo de Carnot en termodinámica, que establece límites de eficiencia para una máquina de vapor, donde también existe un concepto de entropía que, de hecho, inspira la definición de Shannon.
Si bien el español es ligeramente más redundante que el inglés, las personas hispanohablantes hablan, en general, ligeramente más rápido que los angloparlantes. De tal manera que la información que transmiten por unidad de tiempo es muy similar. Esta misma capacidad debe ser algo universal en todos los seres humanos.

Paquete 13. En conclusión

Shannon crea una nueva disciplina en matemáticas cuyo desarrollo tiene un impacto enorme en la manera de comunicarnos. Al comprender la estructura de la información y sus límites, hoy podemos comunicarnos de manera eficiente y segura. Los mensajes pueden comprimirse sin perder confiabilidad: lo que sin comprimir sería inmenso e intransmisible se vuelve manejable.