De los números al arte: las sucesiones de Langford

Las matemáticas han estado presentes en el arte de maneras muy distintas. El diseñador, artista polifacético y educador suizo Max Bill (1908-1994), figura central del arte concreto, escribió en su ensayo El pensamiento matemático en el arte de nuestro tiempo (1949) sobre una nueva concepción matemática del arte contemporáneo. Como punto de partida citaba al teórico del arte y pintor ruso Vasili Kandinsky, quien en Sobre lo espiritual en el arte (1910) había planteado las premisas de un arte en el que la concepción matemática tendría un papel central.

Aunque Kandinsky no desarrolló esta idea, posteriormente fue recogida por distintos movimientos artísticos abstractos, como el arte concreto, el minimalismo, la abstracción geométrica, el arte conceptual o el constructivismo británico. Temas como la geometría, los números primos, el número π, la razón áurea, la sucesión de Fibonacci, el infinito o los fractales han sido utilizados por artistas contemporáneos como Max Bill, Sol LeWitt, Esther Ferrer, Anni Albers, Vera Molnár o Ryoji Ikeda como herramientas para crear sus obras. 

Un ejemplo particularmente interesante es el del artista concreto alemán Gerhard Hotter, quien emplea las sucesiones de Langford como base de su proceso creativo. Para entender cómo una sucesión de números puede determinar la organización de una pintura, conviene conocer primero el problema matemático que le dio origen.

En 1958, el matemático escocés Charles Dudley Langford (1905-1969) publicó en la revista Mathematical Gazette el conocido como problema de los emparejamientos de Langford. Consiste en distribuir parejas de números, 1, 1, 2, 2, …, n, n, siguiendo una regla: entre los dos números iguales debe haber exactamente tantos números como indica su valor. Entre los dos 1 habrá un número; entre los dos 2, dos; entre los dos 3, tres, y así sucesivamente. A una distribución que cumple esta regla se le llama sucesión de Langford. Una solución para cuatro parejas es 41312432. 

Langford encontró soluciones para algunos números de parejas, pero no para otros, y planteó entonces una pregunta general: ¿para qué valores de n existen estas sucesiones? El matemático inglés Roy O. Davies (1927-2023) resolvió la cuestión al año siguiente y demostró que existen cuando n es múltiplo de 4 o cuando, al dividirlo entre 4, queda un residuo de 3. 

Langford propuso en 1958 un acertijo para acomodar parejas de números.

El problema fue popularizado en 1967 por el divulgador de las matemáticas estadounidense Martin Gardner, quien propuso buscar soluciones utilizando una baraja de cartas en su columna de juegos matemáticos de Scientific American. También señaló otra dificultad: determinar cuántas soluciones distintas existen para cada número de parejas. Algunas podían calcularse a mano, pero conforme aumentaba el número de elementos entraron en juego los ordenadores y los algoritmos. Se abría así un interesante problema dentro de la teoría de la computación. 

Es esta estructura matemática la que Gerhard Hotter lleva al terreno artístico. Desde la década de 1990, su trabajo está ligado al arte concreto y utiliza las matemáticas, entre ellas el número π y las sucesiones de Langford, como una de sus principales herramientas de creación.

El artista Gerhard Hotter usa esas sucesiones para componer sus pinturas.

Hotter divide el espacio y crea ritmos utilizando estas sucesiones. Principalmente trabaja con 26 sucesiones de orden 8, de las 150 que existen, y cada una está asociada a una letra del alfabeto. De esta manera, los títulos de sus obras indican qué sucesiones ha utilizado. La pintura acrílica sobre lienzo HYNFAL (2012), por ejemplo, se construye a partir de seis sucesiones correspondientes a las letras H, Y, N, F, A y L. 

Figura 1. Las sucesiones de Langford de orden 8 que forman parte de la pintura HYNFAL (2012), de Gerhard Hotter.

La Figura 1 muestra las seis sucesiones utilizadas en la obra. Cada fila corresponde a una de ellas y cada número determina el ancho de una de las bandas rectangulares. De este modo, los números establecen las proporciones y los distintos ritmos espaciales que después aparecen en la pintura.

Figura 2. Reconstrucción digital de la pintura HYNFAL (2012), de Gerhard Hotter; 96 × 96 × 6 cm.

En la Figura 2 puede observarse el resultado. Los números ya no aparecen escritos, pero siguen presentes en la forma en que se distribuyen las bandas rectangulares. La sucesión matemática se convierte así en una estructura visual.

Hotter ha trabajado distintas variaciones estéticas de esta idea. En DAFLOXIS (2017) utiliza líneas inclinadas en lugar de horizontales para separar las filas; en PUR (2013), las sucesiones de Langford determinan los ritmos espaciales de las columnas. También tiene series en las que la forma del lienzo es triangular, cuadrada o pentagonal, y los espacios entre las líneas vuelven a estar determinados por sucesiones de Langford, como en BLU (2014), EX (2015) y PENTA (2017). 

En sus obras, cada número determina el ancho de una franja.

En estas obras, las matemáticas no aparecen simplemente representadas en el lienzo. Son parte del procedimiento con el que se decide cómo dividir el espacio, qué proporciones utilizar y qué ritmo tendrá la composición. Las sucesiones de Langford, nacidas como un problema matemático, adquieren así una nueva función: convertirse en una herramienta para la creación artística.