El ser humano se ha caracterizado por modificar su entorno, para bien o para mal. En la Edad Media, por ejemplo, se construían pequeños autómatas que, al darles cuerda, caminaban. Los mecanismos se encontraban dentro de los ropajes colocados sobre muñecos de madera y servían para convencer a la población de que el santo representado tenía muchísimo poder o, simplemente, para que el rico señor feudal o príncipe disfrutara de semejante prodigio.
La teoría del control permite que una máquina haga lo que queremos.
En la actualidad, esto no nos sorprendería, pues vivimos en una sociedad muy tecnologizada. Sin embargo, esta tecnología incorpora innumerables mecanismos de control que permiten que los objetos cumplan con los objetivos para los que fueron diseñados.
La teoría del control, de manera más establecida, surge con fuerza durante la Revolución Industrial. Uno de los mecanismos de control más importantes fue, sin duda, el regulador de Watt. Este artilugio es como un péndulo con dos masas, suspendidas por dos brazos articulados, que libera vapor cuando es necesario y evita explosiones. Como bien ilustra este ejemplo, el control, en sus orígenes, era un tema al que se dedicaban principalmente los ingenieros. Muchos de estos objetos se desarrollaron sin necesidad de matemáticas, hasta que los sistemas empezaron a ser más complejos y un error podía, por ejemplo, provocar una explosión y la pérdida de vidas.
La teoría matemática del control surge cuando se busca modificar el comportamiento de un sistema modelado mediante ecuaciones. En este sistema podemos aplicar un esfuerzo, llamado entrada o control, para modificar su comportamiento. Esto puede ser la dosis de un medicamento, la quimioterapia o encender o apagar un aire acondicionado.
Muchos me dirán que, con el avance de la tecnología y el aumento de la capacidad de las computadoras cuánticas, basta con hacer unas simulaciones y listo. Esto es, en parte, verdad. Sin embargo, hay procesos computacionales que, aún hoy en día, llevan muchísimo tiempo, y esto tiene un costo tanto ecológico como monetario. ¡Mantener las computadoras a la temperatura ideal ya es, en sí mismo, un complejo problema de control!
También hay que señalar que en las simulaciones numéricas surgen, a veces, comportamientos que el modelo natural no presenta. Es importante, entonces, entender bien los modelos, y esto pasa por un análisis matemático detallado.
En este siglo vemos que en algunos países ya existen taxis sin conductor, lo que conocemos como manejo autónomo de autos. En este tipo de conducción pueden verse con claridad varios objetivos del control.
El primero es determinar si es posible llegar del punto de partida al destino en coche. Pongamos que queremos ir de Tlaquepaque a la catedral en Guadalajara, Jalisco. La primera pregunta que debemos hacernos es si existe una ruta para ir en coche de un lugar a otro. Si mi pregunta hubiese sido ir en coche de la CDMX a Nairobi, Kenia, la respuesta habría sido que no es posible.
Después de saber que la respuesta es positiva, podemos preguntarnos cuál es el camino más corto o cuál es el más rápido. Si no hubiera tráfico, ambos recorridos coincidirían, pero con los embotellamientos debemos elegir qué es lo que queremos optimizar: tiempo o distancia.
Con esta elección hecha, debemos pedirle al automóvil que siga la ruta que hemos prefijado, o que se mueva de acuerdo con el tráfico. Esto se conoce como seguimiento de trayectorias. Claro, lo que pedimos es que el auto recorra el camino establecido con la mayor precisión posible, pero evitando a un peatón, un bulto en la carretera, un bache, etcétera.
En este ejemplo hemos visto varios conceptos:
- Control exacto: ir del punto A al punto B.
- Control óptimo: minimizar el tiempo o la distancia. Es lo que normalmente llamamos minimizar un costo. Este objetivo también podría ser maximizar una ganancia o un rendimiento. Se llama óptimo, pues optimiza.
- Control de trayectorias: seguir un camino preestablecido, manteniéndose lo más cerca posible de él.
Y, relacionado con los coches, hay un problema de control súper interesante: estacionar un carro. Todos los que manejamos sabemos que es uno de los aspectos más complicados de la conducción. Tenemos, esencialmente, dos controles: el giro de las llantas, sólo las delanteras, que no se pueden poner perpendiculares al auto, y la velocidad, hacia atrás y hacia adelante.
Los autos autónomos combinan control exacto, óptimo y seguimiento de trayectorias.
Los conductores sabemos que, si empezamos mal, hay que salirse e intentarlo desde cero… En la actualidad ya hay robots, plataformas con ruedas, que estacionan coches con total precisión. Para lograr eso ha hecho falta un buen modelo matemático, resolver el problema de control y ponerlo en la computadora. ¡Matemáticas, matemáticas y más matemáticas!
Desde luego, hay otros conceptos de control que no están descritos aquí. Un bonito ejemplo es el control geométrico: dar una forma específica a un objeto para mejorar su desempeño. Un ejemplo fácil de ver es la forma de un automóvil. Si observamos los coches actuales en la calle, casi todos tienen una forma bastante similar, salvo los muy caros o los de carreras. ¿Se han preguntado a qué se debe esto? Una de las respuestas es que estas formas garantizan una muy buena estabilidad, a la vez que reducen el peso del vehículo.
Con el desarrollo acelerado de la tecnología surgen nuevos modelos, cada vez más complejos, que debemos entender. Requerimos técnicas matemáticas nuevas que nos ayuden a responder las preguntas que nos formulamos: entender los modelos, buscar soluciones teóricas, ofrecer soluciones numéricas, siempre aproximadas, y obtener información cuantitativa y cualitativa sobre el control.
Estacionar un auto es uno de los problemas de control más interesantes.
Las matemáticas se verán cada vez más influidas por esta tendencia hacia la complejidad y la multidisciplinariedad, y aumentará su importancia en áreas como las neurociencias, las ciencias sociales y hasta la cocina.
¡Hay mucho por hacer! Para apretar un botón y obtener lo que queremos, el camino es intrincado. Necesitamos mentes nuevas capaces de enfrentar estos desafíos con una óptica renovada.
