Los llamados números de Fibonacci tienen algo casi irresistible: son extraordinariamente simples de generar y, además, aparecen una y otra vez en la naturaleza, como si fueran una especie de estela matemática del crecimiento. No es casualidad que estén íntimamente ligados a la llamada “razón dorada”, ese número que desde la antigüedad se asocia con proporciones particularmente armónicas.
El matemático detrás de esta peculiar historia es Fibonacci, cuyo nombre real era Leonardo de Pisa. Vivió entre los siglos XII y XIII y fue una figura clave en la matemática europea. En su célebre Liber Abaci de 1202 no solo introdujo los números indo-arábigos en Occidente, sino que también planteó un problema aparentemente inocente sobre contabilizar la reproducción de conejos. De ahí emerge una de las sucesiones más fascinantes de toda la matemática: la de Fibonacci.
Esta sucesión de números comienza de forma muy simple, con 1 y 1, y cada nuevo número se obtiene sumando los dos predecesores, de izquierda a derecha:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…
Nada podría parecer más sencillo. Y, sin embargo, detrás de esta regla elemental se esconde una estructura sorprendentemente profunda. Estos números aparecen y reaparecen en lugares insospechados, desde teorías algebraicas hasta patrones visibles en la naturaleza.
Lo realmente llamativo es que la serie de Fibonacci actúa como una especie de patrón en ciertos procesos de crecimiento. Allí donde la naturaleza busca eficiencia, economía de espacio o estabilidad estructural, surgen configuraciones que reproducen esta sucesión con una precisión asombrosa. Dos ejemplos clásicos lo ilustran de manera particularmente clara: la genealogía de las abejas y la disposición de las semillas en plantas como los girasoles.
Comencemos con las abejas, cuyo sistema de reproducción es, en sí mismo, bastante peculiar. En una colmena, todas las abejas son hembras y tienen dos progenitores: una madre (la reina) y un padre (un zángano). Sin embargo, los zánganos nacen de huevos no fecundados, lo que significa que tienen madre, pero no padre.
Si seguimos el árbol genealógico de un zángano hacia atrás, aparece una sorpresa. Ese zángano tiene un solo progenitor: su madre. La madre, en cambio, tiene dos progenitores. Por lo tanto, el zángano tiene dos abuelos. Pero al retroceder una generación más, la situación se vuelve asimétrica: la abuela tiene dos padres, mientras que el abuelo (que es macho) tiene solo uno. El resultado es que el número de bisabuelos es tres.
Y si continuamos este proceso generación tras generación, ocurre algo notable: el número de antecesores en cada nivel sigue exactamente la sucesión de Fibonacci. Lo que comenzó como una simple regla biológica nos conduce a los números del veneciano (Fig. 1).
Fig. 1: Los antecesores de un zángano
El segundo ejemplo es aún más sorprendente, porque cualquiera puede observarlo directamente en algunas flores. Muchas plantas, y en particular el girasol, presentan en su centro un patrón de espirales entrelazadas. Si se mira con atención, las semillas no están distribuidas al azar, sino están organizadas en espirales que giran en dos direcciones: unas hacia la derecha y otras hacia la izquierda.
Lo notable es que, al contar estas espirales, aparecen nuevamente los números de Fibonacci. En muchos girasoles se pueden identificar, por ejemplo, 34 espirales en una dirección y 55 en la otra; en otros casos, 21 y 34, o incluso números mayores como 55 y 89. Es decir, pares consecutivos de la sucesión de Fibonacci.
Este fenómeno no es una coincidencia estética, sino el resultado de un proceso de crecimiento llamado filogénesis. El resultado visible de ese mecanismo es precisamente la aparición de las espirales. Y el hecho de que su número coincida con términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci refleja una propiedad profunda: estos números describen, en cierto sentido, la mejor manera de distribuir elementos de forma homogénea en un disco en expansión.
En la figura de una flor con semillas en el centro, el número de espirales verdes es 13 y el número de espirales azules es 21. Los dos son números de Fibonacci sucesivos.
Fig. 2: En esta flor las florecillas individuales forman 21 espirales azules y 13 espirales de color turquesa.
¿Cómo se puede explicar este hecho singular? Un poco como en el caso de las abejas, viendo de donde provienen los componentes individuales que se convierten en semillas, o incluso florecillas, en la flor.
Lo que se ha logrado entender en los últimos años es que las semillas en la flor provienen de la zona central (el llamado meristemo) y comienzan como pequeños primordios. Los primordios están organizados alrededor de un círculo, que además crece hacia afuera de manera centrifuga, se dice. Es decir, el anillo de primordios se expande y además rota un poco, produciendo las espirales que podemos ver en la flor.
La Fig. 3 muestra el proceso, de izquierda a derecha. Comenzamos con un primordio en gris y se genera uno nuevo, en rojo, que además se acerca por un lado al primordio más antiguo dejando un lado largo en el anillo (L) y un lado corto (S). Un nuevo primordio se genera en el lado L que tiene más espacio, se acerca al primordio más antiguo, y subdivide al segmento L original en un segmento S y uno L. La regla, como se ve, es qué, si escribimos las letras del anillo como una palabra, pasamos de una configuración SL a LLS, luego SLSLL y así sucesivamente. El segmento S se convierte en L en cada siguiente generación, y el segmento L en SL. Es como un juego de substitución de letras por otras. Lo importante, sin embargo, es que en cada generación obtenemos un número de primordios igual a un número de Fibonacci, es decir: 2, 3, 5, 8, 13, etc.
Fig. 3: Generación de primordios en el meristema de una flor
El ángulo de rotación del anillo de primordios es también muy especial. Aparentemente produce la forma más compacta de organizar a las semillas en la flor. El rompecabezas en la Fig. 4, nos da una idea tanto de la forma en la que surge una espiral y una contraespiral al ir girando los primordios bajo la restricción de generar un empaque lo más denso posible.
Fig. 4: Espirales de Fibonacci en un rompecabezas floral
