Cuando Eudoxo descubrió los números reales

Hay descubrimientos que nacen dos veces: primero, en silencio, cuando la idea es concebida inicialmente; la segunda vez, con estruendo, cuando se reconoce su verdadero alcance. La teoría de las proporciones geométricas atribuida a Eudoxus of Cnidus pertenece a esa categoría. En ella, sin nombrarlos, sin aún convertirlos en objetos aritméticos, encontramos ya la semilla teórica de los llamados números reales. Hubo que esperar más de dos milenios, y el giro conceptual en las matemáticas del siglo XIX, para advertirlo con claridad.

El problema que angustiaba a los griegos era la inconmensurabilidad. El descubrimiento de que la longitud de la diagonal de un cuadrado con lados de longitud 1 (es decir 2‾√ 2 ) no se puede expresar como una fracción de enteros, acabó con la esperanza de que toda magnitud pudiera escribirse con números enteros o sus cocientes. Hoy decimos simplemente que la diagonal mide 2‾√ 2 , un número irracional. La aritmética, tal y como se entendía entonces, pareciera estar incompleta al no poder expresar a los números irracionales. Como solución Eudoxo concibió una estrategia radical: en vez de “nombrar” magnitudes mediante números, se podía compararlas directamente. Escribimos 𝑎:𝑏 a : b cuando queremos decir que observamos la relación entre 𝑎 a y 𝑏 b , que son dos objetos geométricos. Por ejemplo, 𝑎 a puede ser la longitud de la diagonal del cuadrado mencionado antes y 𝑏 b la longitud del lado.

Si ahora tenemos otro cuadrado y diagonal y lado tienen la relación 𝑐:𝑑 c : d , quisiéramos saber si la relación es la misma. Eudoxus dice que las dos relaciones son iguales si dados dos enteros 𝑚 m y 𝑛 n , 𝑚𝑎 < 𝑛𝑏 m a < n b implica 𝑚𝑐 < 𝑛𝑑 m c < n d , o similarmente, 𝑚𝑎 > 𝑛𝑏 m a > n b implica 𝑚𝑐 > 𝑛𝑑 m c > n d . La definición parece un tanto oscura, pero hoy la podemos reinterpretar utilizando notación moderna. En un cuadrado con diagonal 2‾√ 2 y lado 1, la relación 𝑎:𝑏=𝑎/𝑏 a : b = a / b es simplemente 2‾√/1. 2 / 1 . Si tenemos otra relación 𝑐:𝑑 c : d , Eudoxus dice que es la misma, si cuando

eso implica

Y si cuando

Eso implica que

En otras palabras, si el racional 𝑚/𝑛 está por arriba de 2‾√ , y entonces también está por arriba de 𝑐:𝑑 , o si 𝑚/𝑛 está por debajo de 2‾√ , también está por debajo de 𝑐:𝑑 c : d , entonces las dos razones, 2‾√:1 2 : 1 y 𝑐:𝑑 c : d son iguales.

La figura adjunta muestra la idea: en la línea del continuo de los números, los griegos tenían un agujero en la posición 2‾√ 2 . Pero ese número puede ser entendido como la relación 2‾√ 2 /1. Todos los racionales 𝑚/𝑛 m / n por arriba de 2‾√ 2 , junto con todos los racionales por debajo, marcan la posición exacta del hueco. Si lo mismo sucede simultáneamente para 𝑐:𝑑 c : d , es que 𝑐:𝑑 c : d representa la misma razón que 2‾√ 2 /1.

En apariencia, la definición de Eudoxus le da la vuelta al problema: no dice qué es una razón, sino solo especifica cuando dos razones son iguales. Sin embargo, su potencia es extraordinaria. La razón 𝑎:𝑏 a : b queda determinada por el conjunto de todos los racionales 𝑚/𝑛 m / n que la acotan por abajo y por el conjunto de todos los racionales que la acotan por arriba. Dicho de otro modo, cada razón queda codificada por todas sus comparaciones racionales. Sin hablar de números, Eudoxo construyó objetos (las razones) que se comportan exactamente como los números reales positivos: están completamente determinados por su posición relativa frente a todos los racionales. Y además estas razones se pueden comparar para saber si estamos hablando del mismo número, racional o irracional.

Durante siglos, esta teoría fue leída como un logro únicamente geométrico. Euclides la incorporó en sus Elementos y la presentó como fundamento para tratar magnitudes continuas (ya fueran longitudes, áreas, o volúmenes) evitando el lenguaje numérico. La matemática griega, en ese sentido, elige conscientemente la geometría sobre la aritmética. Pero en esa elección se oculta un hecho decisivo: la estructura lógica de las razones eudoxianas ya contiene la semilla de como completar la línea numérica del continuo. No quedan “huecos”, porque toda razón (hoy diríamos punto del continuo) queda fijada por sus relaciones con los racionales.

La revolución del siglo XIX consistió precisamente en invertir esta perspectiva. La necesidad de rigor en el cálculo, impulsada por las dificultades en torno a límites, continuidad y convergencia, llevó a una reconstrucción aritmética del continuo. Figuras como Karl Weierstrass, Bernard Bolzano y, de manera decisiva, Richard Dedekind, buscaron definir los números reales sin recurrir a la intuición geométrica.

En 1872, Dedekind introdujo sus célebres “cortes”: particiones de los números racionales en dos conjuntos, uno inferior y otro superior, que marcan la posición de cualquier punto del continuo. Cada número real queda así definido por todos los racionales que lo preceden o le siguen. No hay huecos y para eliminarlos basta hablar de conjuntos de racionales. La semejanza con Eudoxo es difícil de ignorar. Donde Eudoxo compara múltiplos de magnitudes, Dedekind compara fracciones; donde uno define igualdad de razones, el otro define identidad de números. En ambos casos, el objeto queda determinado por un patrón completo de desigualdades frente a los racionales.

Sin embargo, Eudoxo no logró convertir las razones en números, porque no definió las operaciones aritméticas entre razones. Dedekind, en cambio, afirma que esas razones son precisamente los números y define rigurosamente las operaciones posibles. La contribución decisiva del siglo XIX consiste entonces en reconocer como entidad matemática, como números reales, lo que en la Antigüedad era solo una relación. Por eso la llamada “aritmetización del análisis” no inventa el continuo desde cero; lo reinterpreta. Lo que cambia es el estatuto ontológico de las razones de Eudoxus: pasan de ser relación geométrica a convertirse en objeto aritmético.

Por eso el siglo XIX no solo recupera la lógica de Eudoxo; la somete a un escrutinio que permite verla en su pureza. El rigor moderno, la insistencia en definiciones explícitas, en condiciones necesarias y suficientes, en estructuras completas, actúa como una lupa que hace evidente lo que antes estaba envuelto en intuición geométrica. En ese sentido, Dedekind no corrige a Eudoxo: lo traduce.

Admito que decir que Eudoxo “descubrió los números reales” es, en realidad, licencia poética, pero una licencia reveladora. No los descubrió como números, ni como elementos de una estructura algebraica completa. Los descubrió como una estructura de comparación exhaustiva, como un continuo sin fisuras en el que toda magnitud está determinada por su relación con las demás. El siglo XIX, con su obsesión por el fundamento, reconoció en esa estructura algo familiar: el esqueleto de los números reales.

Así, la historia se pliega sobre sí misma. Lo que comenzó como una respuesta geométrica a la crisis de la inconmensurabilidad termina convertido en el corazón aritmético del análisis moderno. Entre Eudoxo y Dedekind no hay una ruptura, sino una larga espera: la espera de un lenguaje capaz de nombrar lo que ya había sido, en esencia, comprendido.