Una extraña regularidad que podemos encontrar en los números decimales que aparecen en diarios y revistas ha llamado la atención de los matemáticos. Si tomamos muchos de esos números, al azar, y los clasificamos de acuerdo a su primer dígito, encontramos que aproximadamente el 30.1% de ellos comienza con el dígito 1, mientras que el 17.6% comienza con el dígito 2. Este porcentaje va decreciendo paulatinamente hasta el 9, que es solo el primer dígito el 4.6% de las veces. Esto, que pareciera algo casual, se ha revelado como una regularidad numérica recurrente y paradójica, que es llamada la Ley de Benford. Se le ha comprobado examinando colecciones de números recopilados de bases de datos públicas, fenómenos naturales, Internet, etc.
La gráfica muestra la frecuencia con la que el dígito k = 1 , 2 , … , 9 , aparece como el primer dígito en grandes colecciones aleatorias de datos.
El primero que hizo esta observación fue el astrónomo norteamericano Simon Newcomb, quien notó que cuadernillos de tablas de logaritmos estaban más desgastados en las páginas correspondientes al dígito 1, que en las páginas posteriores dedicadas a otros dígitos. Newcomb escribió en 1881 un pequeño artículo al respecto para el American Journal of Mathematics, que fue olvidado con el paso del tiempo. En 1938 el físico Frank Benford redescubrió esta regularidad estadística. La corroboró con una muestra de 20,000 números tomados de todas las ramas de la economía, la vida social y la ciencia. A partir de ahí, lo descubierto por Newcomb se convirtió en la Ley de Benford. Ésta nos dice que la frecuencia relativa del dígito d, como dígito inicial de números decimales, es
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La explicación más popular de este fenómeno es el hecho de que los sistemas de unidades son hasta cierto punto arbitrarios. No debería haber gran diferencia en las propiedades estadísticas de los números, ya sea que midamos cantidades de dinero en dólares o en euros, o que midamos temperaturas en grados Celsius o Fahrenheit. Es decir, las propiedades estadísticas de los números deben ser invariantes con respecto a la escala que estemos usando.
Una forma muy plástica de entender el fenómeno es reescribiendo un número 𝑥 en términos de su logaritmo. Si 𝑏 es la parte entera del logaritmo de 𝑥 y 𝑚 es la parte fraccionaria, podemos expresar 𝑥 como
x = 10b+m = 10b × 10m
El primer factor, 10b, describe al número x en términos de potencias de diez, es decir, de decenas, centenas, miles, etc. Es decir, b es el número de dígitos que preceden al punto decimal, menos uno. En tanto, m es un número entre 0 y 1. El término 10m define los dígitos del número en cuestión.
Por ejemplo, el logaritmo base 10 de 325.123 es igual a 2.51, eso quiere decir que
325.123=102×100.51
En la fórmula x=10b × 10m, para m mayor que 0 y menor que log10(2), la expresión 10m toma valores entre 1 y 1.9999. Es decir, el primer dígito del número en cuestión es 1. La tabla muestra como varía el primer dígito de 10m al ir variando el valor de m.
Si suponemos que el valor del exponente m, en 10k × 10m, está distribuido de manera uniforme entre 0 y 1, eso explicaría porque el primer dígito es el 1 el 30.10% de las veces. Ese es el tamaño del intervalo en el que podemos seleccionar m aleatoriamente para que esto ocurra. Algo similar sucede con los otros dígitos.
Podemos interpretar este resultado diciendo que 10𝑘 es algo así como la escala numérica que estamos utilizando, mientras que 10𝑚 define a los dígitos del número que estamos considerando. Hay que hacer notar, sin embargo, que se han avanzado muchas otras explicaciones teóricas de la Ley de Benford.
Se ha tratado de aplicar la ley también al análisis forense de documentos de contabilidad. Si alguien está “cocinando” los libros, como se dice, esto se haría evidente en la distribución no estándar de los números en la contabilidad. Por eso la Ley de Benford es también un fenómeno cultural y es mencionada hasta en series policiacas, en las que el malo es descubierto por sus pobres conocimientos matemáticos.
