En las matemáticas trabajamos con diversos tipos de números que distinguimos por sus propiedades aritméticas: los números naturales, por ejemplo, nos sirven para contar, son el 1, 2, 3, etc. Si extendemos el conjunto de los naturales con el cero y los números negativos, obtenemos los llamados números enteros. Las fracciones enteras consisten de un numerador y un denominador entero pero distinto de cero, como es el caso de los números 2/5, 3/4, etc.
El matemático Georg Cantor (1845-1918) fue uno de los más prominentes fundadores de lo que se puede llamar la teoría de conjuntos rigurosa. Una de las preguntas que se planteaba era la del tamaño relativo de los conjuntos numéricos. De esta inquietud surge un ejemplo tan ingenioso como sorprendente, formulado por David Hilbert, probablemente el matemático más influyente del siglo XX.
Imaginemos el célebre “hotel de Hilbert”: un hotel con una cantidad infinita de habitaciones, numeradas 1, 2, 3, … sin fin. Todo está ocupado, no queda ni una sola habitación libre, y, sin embargo, llega un nuevo huésped. En cualquier hotel común y corriente esto sería un problema insalvable, pero no aquí. “No hay inconveniente”, dicen tranquilamente en la recepción. Por altoparlante, se pide a todos los huéspedes que se cambien de habitación: quien está en la 1 pasa a la 2, quien está en la 2 pasa a la 3, y así sucesivamente. Como por arte de magia, la habitación 1 queda libre, lista para el recién llegado, mientras todas las demás siguen ocupadas. El hotel estaba lleno… y aun así pudo alojar a alguien más.
¿Qué está ocurriendo aquí? La clave está en cómo comparamos conjuntos. Decimos que dos conjuntos tienen el mismo número de elementos si podemos emparejarlos uno a uno. Por ejemplo, el conjunto {a, b, c, d, e} puede ponerse en correspondencia con {1, 2, 3, 4, 5} asignando a→1, b→2, c→3, d→4, e→5. Esta correspondencia perfecta es, en esencia, lo que significa “contar”.
Un conjunto infinito, sin embargo, se puede poner en correspondencia uno a uno con una parte de él, un subconjunto. Por ejemplo, los naturales se pueden poner en correspondencia con los naturales pares:
Lo que esto quiere decir es que hay tantos naturales pares, como números naturales. Esa es la definición de un conjunto infinito en la teoría de Cantor: un conjunto que se puede poner en correspondencia uno a uno con un subconjunto de sí mismo. Ese es el secreto del hotel de Hilbert: todos los naturales se pueden poner en correspondencia uno a uno con los naturales a partir del número 2:
Es decir, a los naturales les podemos agregar un número, y siguen teniendo el mismo tamaño, o cardinalidad, como se dice.
Nos podemos preguntar ahora si hay más números enteros que naturales, pero no es así. A los enteros los podemos “contar” utilizando números naturales. Si nos imaginamos a los enteros colocados en una línea de números, la figura muestra como los podemos asociar con los naturales, contándolos:
Como se puede apreciar, comenzamos con el cero y después vamos contando otros enteros, alternando el lado derecho con el izquierdo. Es fácil ver que de esa manera podemos poner a todos los naturales en correspondencia con todos los números enteros. Decimos entonces que el conjunto de los enteros es “contable”.
Más interesante es el caso de los números llamados racionales positivos, es decir aquellos que tienen un natural por numerador y un natural por denominador, como en la tabla adjunta. En el renglón superior de la tabla anotamos todos los naturales, en la primera columna también. En la tabla, el número de columna lo utilizamos como denominador, y el número del renglón como numerador.
Es fácil ver que esta tabla contiene todas las combinaciones posibles de numerador/denominador, cuando ambos son números naturales. Además, podemos contar a estos números racionales siguiendo las diagonales de la tabla en la forma mostrada por las flechas rojas. Es claro que vamos a poder contar a todos los racionales positivos, asociándolos con los naturales y por eso podemos decir que el conjunto de racionales positivos es contable.
Sin embargo, Georg Cantor fue más allá: se preguntó que conjuntos infinitos no pueden ser contados, es decir que conjuntos no pueden ponerse en correspondencia uno a uno con los naturales. La respuesta, que asombró a muchos de sus contemporáneos, es que tales conjuntos existen y que se puede definir incluso una jerarquía de infinitos que Cantor pudo conceptualizar, abriendo lo que Hilbert llamó “el paraíso” que Cantor nos legó.
