La característica de Euler: V-A+C

Existe una celebrada expresión de 1750 que fue propuesta por el matemático suizo Leonhard Euler, y que por esa razón es llamada la “característica de Euler”. Si pensamos en un cubo y contamos sus vértices, aristas y caras, encontramos entonces 8 vértices (V=8), 12 aristas (A=12) y 6 caras (C=6). Combinando esos números tenemos que:

vértices − aristas + caras = V − A + C = 2

El resultado, 2, es llamado la “característica” del cubo. Lo importante es que el valor de la expresión arriba no solo es igual a dos para el cubo. Hay muchos otros poliedros (cuerpos limitados por caras planas) para los que la fórmula es válida. Si pensamos que el poliedro tiene caras flexibles, y es posible inflarlo hasta que se pone redondo como una esfera, las aristas del poliedro quedan marcadas sobre su superficie y entonces decimos que, topológicamente, la superficie del cubo es equivalente a la superficie de la esfera. Para ese tipo de poliedros la característica de Euler es siempre igual a 2. La Tabla 1 muestra algunos poliedros y el número de sus vértices, aristas y caras. 

Los poliedros de la tabla son casos especiales de lo que se llama “politopos convexos”. Si imaginamos que fueron cortados comenzando con una esfera de arcilla, sus caras resultan de rebanar la arcilla con un filoso cuchillo, con cortes planos. Además, en un politopo convexo cualesquiera dos puntos en su interior se pueden conectar con una línea recta que no atraviesa su superficie, es decir, se mantiene completamente en el interior.

Podemos apreciar cómo se obtiene esta elegante fórmula regresando al caso del cubo. Imaginemos que colocamos un cubo de alambre sobre una mesa y que lo observamos en perspectiva desde arriba. Veríamos sus ocho vértices, sus 12 aristas y 5 de sus caras proyectadas sobre la mesa. La cara superior, la sexta, la imaginamos como el área externa a la figura y que en el diagrama de abajo hemos marcado con 6. 

Ahora bien, a las caras cuadradas del poliedro, proyectadas sobre la mesa, las triangulamos, como se aprecia en la Fig. 2. Cada cara delimitada por cuatro líneas la dividimos con una diagonal.

Después de haber triangulado las caras, comenzamos a eliminar aristas y vértices. Si borramos una arista, sin eliminar vértices, perdemos esa arista y una cara (diagrama izquierdo en la Fig. 2). La arista eliminada está marcada con una línea punteada. Con esta transformación, cualquiera que sea el valor original de V − A + C, no cambia. Esto se debe a que si A pasa a ser A-1, y C a ser C-1, tenemos 

V – A + C = V - (A -1) + (C - 1) 

Lo mismo sucede si eliminamos un vértice, dos aristas y una cara (lado derecho de la Fig. 2). En ese caso 

V – A + C = (V - 1) - (A - 2) + (C - 1) 

La Fig. 3 muestra los pasos de simplificación progresiva. Primero borramos las aristas externas (primer diagrama de la izquierda, Fig.3). Después borramos los cuatro vértices más externos (diagrama en el centro, Fig. 3). Finalmente borramos un vértice, para producir un triángulo. Este triángulo tiene tres vértices, tres aristas y dos caras, la interna, además de la la externa, la que rodea toda la construcción geométrica y que habíamos marcado con el número seis en la Fig. 1. Es fácil ver ahora que para este triángulo 

V – A + C = 3 – 3 + 2 = 2 

como queríamos demostrar. 

Como en todas las transformaciones hemos sido muy cuidadosos de no afectar a la característica original 𝑉−𝐴+𝐶 del cubo, el número dos es la característica del mismo. El mismo tipo de proyección se puede usar para cualquier otro politopo convexo y por eso su característica será también dos, como afirma la célebre fórmula de Euler.  

El lector puede ejercitarse en este proceso de eliminación de cantos y caras, hasta llegar a un solo triángulo, utilizando la proyección del tetraedro sobre el plano, mostrada en la Fig. 4. El tetraedro reposa sobre uno de sus “picos” en el plano y lo observamos desde arriba. Tiene cuatro caras (una externa), cuatro vértices, y seis aristas.