Matemáticas bajo la piel

No es raro haber usado alguna vez uno de esos aparatos que miden la composición corporal: basta con pararse descalzo sobre unas placas metálicas o sujetar unos electrodos con las manos para que aparezcan datos como nuestro porcentaje de grasa corporal. Parecen obtener esa información como por arte de magia y, además, sin ningún miramiento a nuestro amor propio. En realidad, no se trata de magia, sino de matemáticas.

Uno de los métodos más conocidos para observar el interior del cuerpo es la radiografía, esa imagen que asociamos de inmediato con nuestros huesos. Lo que vemos en blanco, negro y tonos de gris es una especie de sombra del interior del cuerpo, producida no por luz visible, sino por rayos X. Al atravesar el cuerpo, esos rayos pierden intensidad según los tejidos que encuentran, y esa variación puede describirse con precisión mediante las matemáticas.

Todas buscan deducir lo que hay dentro del cuerpo a partir de lo que se mide fuera.

Fue el físico alemán Wilhelm Röntgen quien, en 1895, obtuvo la primera radiografía. La imagen correspondía a la mano de su esposa, Anna Bertha, y se cuenta que, al verla, exclamó: “¡Estoy viendo mi propia muerte!”. Por esos mismos años, el matemático austriaco Johann Radon trabajaba en un problema mucho más abstracto: cómo reconstruir un objeto a partir de mediciones hechas desde distintos ángulos.

Radon estudió una transformación matemática que reunía información obtenida desde varias direcciones y permitía reconstruir el objeto original. Décadas después se comprendió que esa idea describía muy bien lo que ocurre cuando los rayos X atraviesan un cuerpo. Aquel trabajo, desarrollado sin una aplicación médica concreta, terminaría siendo una de las bases teóricas de la tomografía axial computarizada, la TAC.

Algo parecido ocurre con el ultrasonido, aunque aquí no se utilizan rayos X, sino sonido: ondas de una frecuencia tan alta que el oído humano no puede percibirlas. Viajan por el interior del cuerpo y se reflejan de manera distinta según los órganos y tejidos que atraviesan. El aparato registra los ecos que regresan y, al analizar cuánto tardan en volver y con qué intensidad lo hacen, puede reconstruir algunas estructuras internas. El principio es semejante al que utilizan los murciélagos para orientarse en la oscuridad.

La ecuación de ondas describe cómo se propaga una vibración a través de un medio y relaciona las señales que regresan con las estructuras por las que pasaron. Aquí aparece una idea que se repite en varias técnicas de imagen médica: a partir de lo que podemos medir desde fuera, intentamos deducir qué ocurre dentro. A este tipo de preguntas se les conoce como problemas inversos. La ecuación se conoce desde el siglo XVIII; hacia los años cincuenta, el ultrasonido ya se utilizaba en ecografías médicas.

La resonancia magnética funciona de otra manera, no utiliza rayos X ni ondas sonoras, sino campos electromagnéticos muy intensos. Sus máquinas funcionan, en esencia, como enormes imanes, además de bastante ruidosos, como saben quienes se han sometido a este procedimiento o han acompañado a algún familiar.
Estos campos interactúan con los núcleos de ciertos átomos presentes en el cuerpo, en particular con los del hidrógeno contenido en el agua de nuestros tejidos. Cuando vuelven a su estado inicial, emiten señales que el aparato registra y procesa para formar una imagen. Aquí interviene la transformada de Fourier, desarrollada a comienzos del siglo XIX, que permite separar una señal compleja en componentes más simples y, a partir de ellas, reconstruir imágenes.

Volvamos al aparato mencionado al inicio. Tampoco allí ocurre ningún acto de magia. El dispositivo hace pasar una corriente eléctrica muy débil a través del cuerpo y mide cómo responde, pues no todos nuestros tejidos conducen la electricidad de la misma manera: el músculo, por ejemplo, tiene propiedades distintas a las de la grasa. El aparato combina esa información con datos como edad, peso o estatura para estimar el porcentaje de grasa corporal. Naturalmente, se trata de una aproximación.

Pero detrás de esa medición aparece una pregunta más ambiciosa: si podemos medir cómo se propaga la electricidad a través del cuerpo, ¿sería posible saber cómo está distribuida la conductividad en su interior? Si eso fuera posible, podríamos distinguir distintos tipos de tejidos, detectar anomalías e incluso identificar la presencia de tumores; es decir, obtener información del interior del cuerpo utilizando únicamente corrientes eléctricas muy débiles.
La dificultad es que la corriente no atraviesa nuestro cuerpo como si viajara por un alambre. Se distribuye en distintas direcciones y sigue caminos que dependen de los tejidos que encuentra, de modo que el reto consiste en partir de mediciones hechas en la superficie e intentar reconstruir lo que sucede en el interior.

Esta pregunta fue formulada de manera sistemática por el matemático argentino Alberto Pedro Calderón. En los años cuarenta del siglo XX, mientras trabajaba en un laboratorio de la empresa petrolera estatal de su país, se interesó en determinar la conductividad de un cuerpo a partir de mediciones hechas en su superficie. De ese trabajo surgió lo que hoy se conoce como el problema de Calderón.

La técnica médica basada en esta idea se conoce como tomografía de impedancia eléctrica. Aún se encuentra en desarrollo y su uso clínico ha sido limitado, pero ofrece una posibilidad interesante: obtener imágenes del interior del cuerpo mediante corrientes eléctricas muy débiles y con equipos relativamente simples.

El problema de Calderón abre la puerta a imágenes con corrientes eléctricas muy débiles.

Si algún día estos métodos se vuelven de uso cotidiano, quizá recordemos que detrás de aquel pequeño aparato que mide nuestra grasa corporal no sólo hay electrónica, sino también una larga historia de ideas matemáticas, muchas desarrolladas mucho antes de que alguien imaginara su aplicación médica y que, con el tiempo, encontraron una forma de ayudarnos a mirar dentro del cuerpo y, en algunos casos, a salvar vidas.