Las coordenadas polares y las abejas

Para localizar puntos en el plano utilizamos las llamadas coordenadas cartesianas, que consisten en medir la distancia horizontal x a un eje vertical, y la distancia vertical y a un eje horizontal. El par (x,y) nos describe por completo la posición del punto en el plano, así como sobre la Tierra la latitud y longitud nos indican dónde estamos.

Hay una forma alternativa de describir la posición de un punto en el plano: las llamadas coordenadas polares. En lugar de indicar cuánto se desplaza uno en las direcciones horizontal y vertical —como ocurre con las coordenadas cartesianas— las coordenadas polares describen un punto mediante dos cantidades: la distancia al origen y el ángulo respecto a una dirección de referencia. La Fig. 1 nos muestra la idea: los círculos concéntricos azules nos indican la distancia al origen. Las líneas nos especifican el ángulo en grados respecto a la flecha negra horizontal. La flecha roja, por ejemplo, corresponde al punto en el plano con coordenadas polares r=5 y θ=30°. 

Las coordenadas polares son útiles en muchas ramas de la ciencia, especialmente cuando tratamos con fenómenos que poseen simetría circular: órbitas, ondas, campos gravitatorios o problemas geométricos centrados en un punto. Por eso no es casual que las coordenadas polares aparezcan con frecuencia en física y en astronomía.

Lo sorprendente es que un sistema de navegación parecido parece ser utilizado por las abejas para comunicar información dentro de la colmena. Es bien sabido que cuando una abeja exploradora encuentra un campo de flores con néctar, regresa al panal y realiza la famosa danza del meneo o waggle dance. La danza le comunica a las otras abejas dos datos esenciales: la distancia del panal hasta las flores y la dirección con respecto al Sol que se debe seguir. El mecanismo fue descrito científicamente apenas en el siglo XX por el etólogo austríaco Karl von Frisch, quien recibió el Premio Nobel en 1973 por sus investigaciones sobre la comunicación de las abejas. Véase la Fig. 2. Durante la danza, la abeja traza en la obscuridad del panal un patrón en forma de ocho, repetidamente. En el segmento central del movimiento, llamado “fase de meneo”, la abeja vibra el abdomen rápidamente y agita las alas mientras avanza en línea recta. La duración de esta fase codifica aproximadamente la distancia hasta las flores (en la Fig. 2 un segundo de danza equivale a un kilómetro). El ángulo de ese segmento de vibración respecto a la vertical del panal indica la dirección en relación con el Sol. Al salir del panal la abeja detecta la dirección al Sol y vuela en el mismo ángulo alfa con la que la abeja danzó respecto a la vertical en el panal. 

Las abejas que observan la danza hacen contacto con sus antenas y siguen muchas repeticiones de la danza, quizás incluso siguiendo a diferentes abejas danzantes y no solo una. De este modo, las instrucciones transmitidas en el plano vertical del panal se transforman en coordenadas polares sobre el campo: una distancia y una dirección desde la colmena.

El fenómeno es tan elegante que podemos decir que, en cierto sentido, las abejas utilizan un sistema equivalente a las coordenadas polares para comunicarse. Este hecho es tan sorprendente que hasta hace 20 años todavía algunos biólogos se negaban a reconocer a la danza de las abejas como un sistema de comunicación, postulando de manera alternativa, que las abejas simplemente seguían en vuelo a las abejas que llamaban la atención con su danza, hasta llegar a las fuentes de néctar. Hoy en día ya pocos dudan del poder comunicativo del baile de las abejas.

De hecho, las primeras observaciones de la danza de las abejas se remontan muy atrás en la historia. Aristóteles, en el siglo IV a.C., ya describió comportamientos colectivos de las abejas en su obra Historia de los Animales. Sin embargo, el significado exacto de la danza no fue comprendido hasta el trabajo sistemático de von Frisch, quien realizó miles de experimentos.

En cuanto a las matemáticas, la idea de describir posiciones mediante una distancia y un ángulo apareció gradualmente en la geometría. Algunos conceptos de la Antigüedad ya tenían relación implícita con las coordenadas polares, especialmente en la astronomía griega, donde ángulos y distancias se usaban para describir posiciones en el firmamento.

De acuerdo a algunos historiadores de la ciencia, el matemático italiano Gregorio Fontana las utilizó a principios del siglo XVIII. Isaac Newton describió en 1671 ocho tipos de sistemas de coordenadas posibles, entre ellas las coordenadas polares, en su obra “Method of Fluxions”. El matemático suizo Jakob Bernoulli fue el que aparentemente las publicó primero, en un trabajo impreso y accesible para el público. Bernoulli llamó a la línea de referencia el “eje polar” y al origen el “polo”. Puntos en el plano son descritos por la distancia al polo y por el ángulo con el eje polar. Posteriormente, Leonhard Euler consolidó el uso sistemático de este tipo de representación. Lo hizo tan bien, que a veces se le ha atribuido a Euler la idea de utilizar las coordenadas polares.

Vemos así que un concepto matemático que hoy aparece de manera obligada en los cursos de cálculo y geometría encuentra su prehistoria en la astronomía, y su encarnación en la naturaleza en la comunicación entre insectos. También las hormigas del desierto parecen tener la facultad de mantener en sus mentes la dirección de regreso al hormiguero mientras exploran terreno. Esto es necesario porque en el desierto las feromonas que normalmente utilizan las hormigas para marcar el camino de regreso se evaporan.

Pareciera que los seres vivos son matemáticos innatos.