En la geometría se pueden construir cuerpos en tres dimensiones, delimitados por caras poligonales planas. Se les llama poliedros y hay de muchas formas. Si todas las caras del poliedro consisten en polígonos del mismo tipo (triangulares isósceles, cuadrados, etc.) se dice que se trata de un poliedro regular. Desde la antigüedad se sabía que hay solo cinco tipos de poliedros así: se les llama “sólidos de Platón”, por razones que vamos a explicar. La figura muestra los cinco poliedros.
El cubo tiene seis caras cuadradas. En cada vértice se encuentran tres caras. El tetraedro tiene cuatro caras triangulares, cada una con sus tres lados iguales. El octaedro tiene ocho caras triangulares, El icosaedro tiene 20 caras también triangulares, mientras que el dodecaedro tiene 12 caras pentagonales.
Los sólidos platónicos exhiben simetrías interesantes. Al cubo lo podemos rotar 90 grados alrededor de ejes perpendiculares a sus caras, que pasan por el centro de ellas, y se reproduce la misma figura. El tetraedro tiene también varios ejes de simetría, el icosaedro muchos más.
Para demostrar que no se puede construir otro polígono regular con caras de seis o más lados, basta pensar que el poliedro ha sido construido con lados de cartón y que lo podemos “desdoblar” sobre un plano. La figura muestra el desdoblamiento de las caras pentagonales del dodecaedro.
Podemos observar cómo en cada vértice del poliedro se encuentran tres caras (al doblarlo en 3D). Los ángulos internos de un pentágono tienen, cada uno, una apertura de 108 grados. Los tres ángulos que se encuentran en un vértice ocupan tres veces 108 grados, o sea 324 grados. Ese hecho posibilita precisamente que se puedan doblar los lados alrededor de los vértices para conformar el dodecaedro. Algo similar sucede con el cubo (véase la figura). La suma de los tres ángulos que se encuentran en un vértice es 270 grados. Se puede doblar y pegar los lados utilizando las pestañas en el diagrama.
Pero ahora pensemos que ocurriría si quisiéramos armar un poliedro con caras hexagonales. Cada cara hexagonal en el plano, colinda con otras caras del mismo tipo. En cada vértice se encuentran tres caras y la suma de sus ángulos es ahora de 360 grados (tres veces 120 grados). Es decir, no queda espacio libre para doblar las caras para formar un sólido. Un poliedro con ese tipo de caras tendría que ser completamente plano, es decir, no sería un poliedro factible de construir.
Aunque este tipo de poliedros son muy antiguos, se les ha llamado “sólidos de Platón” porque Platón escribió un diálogo alrededor de 360 a. C., el “Timeo”, en el que describe la creación del universo, identificando a estos sólidos con componentes primigenios:
• El tetraedro corresponde al fuego, por ser punzante y móvil,
• El octaedro corresponde al aire, por ser más móvil y ligero,
• El icosaedro corresponde al agua, por ser más esférico y fluido,
• El cubo corresponde a la tierra, por ser el más estable de todos,
• El dodecaedro representa un modelo del universo en su conjunto.
Antes de llegar a formular sus famosas leyes astronómicas, Johannes Kepler le atribuyó al universo una organización geométrica regulada por los sólidos de Platón y la esfera. En su “Misterio Cosmográfico” de 1596, Kepler propuso que las órbitas de los seis planetas conocidos tenían relaciones de distancia similares a las de sólidos platónicos incrustados uno en otro. La ilustración, tomada de esa obra, muestra la órbita de Saturno como una esfera, que contiene al resto de los sólidos platónicos.
Afortunadamente Kepler no se quedó en esa elucubración metafísica, siguió investigando hasta descubrir que las órbitas de los planetas eran elípticas, la llamada tercera ley, que explica las dimensiones relativas de las órbitas planetarias. Pero todavía en 1596 Kepler estaba tan convencido de la estructura platónica del universo, que su libro de 1596 llevaba por título completo: “Precursor de los ensayos cosmológicos, los cuales contienen el secreto del universo; acerca de la proporción maravillosa de las esferas celestes, y acerca de las verdaderas y particulares causas del número, magnitud, y movimientos periódicos de los cielos; establecidos por medio de los cinco sólidos geométricos regulares”.
