Además de la aritmética tradicional, donde tenemos a los números enteros y operaciones con ellos, hay una aritmética alternativa que también utilizamos en la vida diaria. Es la aritmética de congruencias, que utilizamos para operar con el reloj, por ejemplo.
En las matemáticas formales se parte de ciertos axiomas, que son simplemente aseveraciones que aceptamos como punto de partida, de las cuales derivamos los teoremas, que son verdades adicionales que podemos demostrar a partir de los axiomas, siguiendo las reglas de la lógica.
El mítico entrenador alemán Otto Rehhagel alguna vez acuñó una frase de esas que hacen historia. Dijo Rehhagel: “el dinero no mete los goles”. Con esa máxima se mofaba de los elevados precios pagados por algunos clubs para adquirir futbolistas de renombre. Y para demostrar que lo que importaba era la calidad del equipo en su conjunto y no las individualidades, transformó en 2004 a la modesta selección de fútbol griega en el campeón de Europa. Desde entonces rara vez se le ve en Alemania, debe habitar el Olimpo.
Las matemáticas han sido llamadas la ciencia de los números. ¿Pero qué es un número? La pregunta no es ociosa. Hay muchos conceptos en las matemáticas que son intuitivos, pero cuando nos preguntan, no son fáciles de precisar. Por ejemplo, Euclides definía un punto como aquello que “no tiene partes ni medida”. Una línea a veces se define como un objeto que sólo tiene longitud, pero no tiene ancho. Estos enunciados apelan a la intuición geométrica del lector, pero no son definiciones realmente útiles para poder después argumentar lógicamente.
En el cuento de Lewis Carroll “A través del espejo y lo que Alicia encontró allí”, tiene lugar una carrera entre Alicia y la Reina Roja, en donde las dos competidoras no pueden avanzar ni un metro por más que corren. Le dice la Reina Roja a Alicia: “Aquí, como ves, hay que correr todo lo que puedas para permanecer en el mismo lugar. Si quieres llegar a otro sitio, ¡tienes que correr al menos el doble de rápido!”.
En la geometría se pueden construir cuerpos en tres dimensiones, delimitados por caras poligonales planas. Se les llama poliedros y hay de muchas formas. Si todas las caras del poliedro consisten en polígonos del mismo tipo (triangulares isósceles, cuadrados, etc.) se dice que se trata de un poliedro regular. Desde la antigüedad se sabía que hay solo cinco tipos de poliedros así: se les llama “sólidos de Platón”, por razones que vamos a explicar. La figura muestra los cinco poliedros.
Siempre es interesante investigar el origen de los términos que utilizamos en matemáticas, aunque sea para cosas tan prosaicas como las potencias a las que podemos elevar a los números. Si tenemos el 7, por ejemplo, podemos calcular su cuadrado, que es 7²=49, o su cubo, que es 7³=343.
